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时间:2022-03-22   访问量:0

摘要:建立了一类简谐激励作用下、两自由度含干摩擦无足自驱动系统的力学模型,描述并分析了系统的运动特性,得到了系统参数选择的最佳范围。研究发现:在低频区,随着激励频率ω的减小,擦边分岔诱导系统碰撞次数逐渐增加,直至颤振序列;在高频区,系统存在混沌运动。在一个完整周期内,基体的运动由黏滞、正向驱进和负向驱进三种中的一种或多种组成;系统平均驱进速度v¯v¯对激励频率ω和质量比μm的变化较敏感,摩擦比f、间隙δ、刚度比μk对系统的影响相对较小,质量比μm的最佳选择范围为[0.4,0.8];系统正向和负向驱进的最大平均速度出现在低频区和;在高频区,基体趋于黏滞状态。该研究结果和方法,可为无足自驱动系统的设计及参数优化提供相应的理论依据。

关键词:干摩擦擦边分岔无足自驱动系统颤振驱进速度

目前的移动机械多依靠外部能量输入、通过车轮或关节走行部实现连续驱进,但这种结构体积大,难以在一些特定的复杂环境中发挥作用,如在密封的输油管道内、狭长弯曲的血管中以及不易载重的输电线上等。而依靠内部电磁力进行驱动的无足自驱动系统结构紧凑、可控性高,更有利于实现血管疏通、高压线除雪及管道输送。且目前对无足自驱动系统动力学特性的研究相对较少,因此,对此类系统进行运动特性的深入研究,在移动电子胶囊设计以及医疗器械研制等方面,具有重要的工程实际意义。

文献[1]设计了一个由微型振动器驱动的、可以执行平移和旋转的微型机器人。文献[2]设计了一个移动胶囊系统,并对其输入进行了优化控制。文献[3]对线性胶囊系统在不同摩擦环境下的动力学特性进行了较详细的分析。文献[4]基于系统内部质量块在水平方向和垂直方向的振动研制出了一种振动驱动器,该系统通过控制水平方向和竖直方向的振动来调节驱进方向。文献[5]设计了一个新型电磁驱动的胶囊机器人,采用磁路法和有限元法对驱动器进行了优化分析,并通过实验进行了验证。文献[6]研究了一类碰撞驱动胶囊系统的动摩擦特性。文献[7]通过对内部质量块与壳体相对速度的优化,得到了系统运行的最大速度。文献[8]构建了一类电磁振动驱动器,分析了系统的擦边运动及参数域匹配规律。

本文所研究的模型基于碰撞振动系统的相关理论,关于碰撞振动系统的研究,在国内外有大量的文献涉及。Holmes[9]研究了一个弹跳球的碰撞振动问题,分析了系统运动的稳定性、分岔和混沌行为,并发现系统在满Smale马蹄。Shaw等[10]采用中心流形-范式降维理论,研究了一类单侧刚性约束下单自由度碰撞振子的动力学行为。张有强等[11,12]对含干摩擦的振动系统进行了非线性动力学行为研究,给出了判定系统黏滑状态分界点的方法,结合Lyapunov指数分析了系统的稳定性,并进一步分析了干摩擦对系统周期运动、拟周期运动、黏滑碰撞运动及混沌行为的影响。秦志英等[13]综述了系统周期轨线的三类非光滑分岔,即擦边分岔、角点碰撞分岔和滑动分岔,总结了具有不同奇异性的分段线性、非线性规范形映射。乐源等[14]研究了一类三自由度碰撞振动系统的激变和阵发性,得到了系统发生激变的条件,揭示了激变之后的一种新的阵发性动力学现象:拟周期-拟周期阵发性,并分析了其分岔机制。伍新等[15]研究了一类三自由度含间隙双侧碰撞振动系统Poincare映射叉式分岔的反控制问题,利用显式的叉式分岔临界准则获得了系统出现叉式分岔的控制参数区域,并分析了叉式分岔解的稳定性。文献[16]研究了平面非光滑动力系统的Hopf分岔,论证了不同类型非光滑动力系统中极限环的分布情况。

本文研究了一类由内部质量块和基体构成的两自由度含干摩擦无足自驱动系统,内部质量块在简谐激励作用下,通过弹性碰撞介质,使基体克服外界摩擦力向正向或负向驱进。研究建立了系统四种状态下的运动微分方程,通过数值方法分析了系统驱进速度对不同参数变化的敏感性,给出了系统驱进的条件,得到了系统参数的最佳选择范围,通过对参数进一步优化获得了系统正负方向驱进的最大平均速度。

1、系统的力学模型和运动微分方程

图1为一种无足自驱动系统的力学模型。内部质量块M1通过刚度为K1的线性弹簧和阻尼系数为C的阻尼器连接在基体M2左内壁,无质量碰撞墙通过刚度为K2的线性弹簧连接在基体M2右内壁。内部质量块M1所受简谐激振力的来源为电磁力,我们可以通过改变螺旋线圈的数量及通电电流的大小实现对简谐激振力的控制。X1,X2分别表示M1和M2的位移,基体M2与外界之间存在干摩擦。当M1对M2的作,基体M2保持静止;当M1对M2的作用反力大于地面给M2的最(假设初始条件下M2处于黏滞状态),基体M2开始滑动,当M2的速,M2将重新静止在新的位置上,如此往复运动。

图1无足自驱动系统的力学模型

本文采用库仑摩擦模型表示两固体接触面间的干摩擦力

式中:Fd为滑动摩擦力;Fs为最大静摩擦力;X⋅2X⋅2为基体M2的速度。该摩擦力模型的基体速度X⋅2−X⋅2-滑动摩擦力Fd曲线如图2所示。

图2库仑摩擦力模型

内部质量块M1在简谐激励Psin(ΩT)作用下有两种不同的运动状态,即M1是否与碰撞墙发生接触。基体M2的运动情况有如下三种:①M2相对地面静止不动,即黏滞运动;②M2相对地面正向驱进;③M2相对地面负向驱进。当基体M2的,M2的运动情况由其所受M1的作用反力与摩擦力的大小关系决定。M2受到M1的作用反力Fm经无量纲化后可表示为

选取系统参数为:f=2,δ=0.5,ξ=0.05,μk=7,μm=3,ω=0.8,τ0=0,可以得到M2所受M1作用反力fm与基体M2速度x˙2x˙2的关系曲线,如图3所示,由图可以看出:当x˙2=0x˙2=0,-1fm1,系统表现为黏滞运动;当x˙20x˙20,系统表现为正向驱进;当x˙20x˙20,系统表现为负向驱进。

图3(fm-x˙2)关系曲线

综上所述,系统运动情况可分为如下四种:①基体M2保持静止,内部质量块M1在简谐激励Psin(ΩT)作用下运动,但不与碰撞墙接触;②基体M2保持静止,内部质量块M1在简谐激励Psin(ΩT)作用下运动,;③基体M2相对地面滑动,内部质量块M1在简谐激励Psin(ΩT)作用下运动但不与碰撞墙接触;④基体M2相对地面滑动,内部质量块M1在简谐激励Psin(ΩT)作用下运动,。上述四种情况下系统的无量纲微分方程表示如下:

(1)当x˙2=0,x1−x2δx˙2=0,x1-x2δ且|2ξx˙1+(x1−x2)|1|2ξx˙1+(x1-x2)|1,即基体M2保持静止,内部质量块M1不与碰撞墙接触

(2)当,即基体M2保持静止,内部质量块M1与碰撞墙接触

(3)当,基体M2相对地面滑动,内部质量块M1不与碰撞墙

{x⋅⋅1+2ξ(x˙1−x˙2)+(x1−x2)=fsin(ωt+τ)μmx⋅⋅2−2ξ(x˙1−x˙2)−(x1−x2)=−sign(x˙2)(5){x⋅⋅1+2ξ(x˙1-x˙2)+(x1-x2)=fsin(ωt+τ)μmx⋅⋅2-2ξ(x˙1-x˙2)-(x1-x2)=-sign(x˙2)(5)

(4)当,基体M2相对地面滑动,内部质量块M1与碰撞墙

其中的无量纲化参数为

2、系统的运动特性描述

M1和基体M2的运动特性进行描述。选取系统参数为:μk=7,f=2,δ=0.5,ξ=0.05,μm=3,ω=0.8,τ0=0,通过数值模拟可,如图4所示。图中黑色实线为内部质量块M1的运动轨迹,虚线为基体M2的运动轨迹,点划线包围的灰色区域为接触区,表示内部质量块M1与碰撞墙发生接触。根据基体M2的运动情况将系统的一个周期分为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个阶段,分别表示基体M2黏滞、负向驱进和正向驱进。在基体M2的每一个运动阶段,若内部质量块M1未进入接触区,用1表示,当M1,用2表示。因此,图4中系统一个完整的运动周期可以表示为:Ⅰ-1|→Ⅰ-2|→Ⅰ-1|→Ⅱ-1|→Ⅱ-2|→Ⅲ-2|→Ⅲ-1。

图4

工程实际中主要关注基体M2驱进的方向和快慢,其驱进方向分单向和双向,驱进快慢(即系统平均运行速度v¯)v¯)定义为

v¯=Δx2Tv¯=Δx2Τ(7)

式中:Δx2=∑j=1nΔx2j−x20Δx2=∑j=1nΔx2j-x20,Δx2j为第j个激励周期内基体M2的位移变化量,x20为M2的初始位移;T=n(2π/ω)为n个完整激励。

当系统参,系统所呈现的周期性也将发生变化。这里用n-p-Ⅰ或n-p-Ⅱ表示无足自驱动系统的周期运动,n为内部质量块M1在一个完整周期运动内所受谐激励的周期数;p为基体M2在一个完整周期运动内的运动情况,p=1,p=2;Ⅰ表示系统正向驱进,即v¯0,Ⅱv¯0,Ⅱ表示系统负向驱进,v¯0v¯0。

3、系统的运动特性分析

选择零相位面σ={(x1,x˙1,x2,x˙2,θ)∈R4×S,θ=0}σ={(x1,x˙1,x2,x˙2,θ)∈R4×S,θ=0}及碰撞面σ={(x1,x˙1,x2,x˙2,θ)∈R4×S,x1−x2=δ}σ={(x1,x˙1,x2,x˙2,θ)∈R4×S,x1-x2=δ}为Poincaré截面,其中θ=mod(ωt,2t/ω),取系统参数为:f=2,δ=0.05,ξ=0.05,μk=7,μm=3,τ0=0,以内部质量块M1所受简谐激励的频率ω为控制参数,利用数值方法可得ω∈[0.01,6.5]图,如图5所示。图5(a)为内部质量块M1的速度x˙1x˙1随激励频率ω变化的分岔图。图5(b)为基体M2平均驱进速度v¯v¯随激励频率ω变化的分岔图,可以看出:激励频率ω1.01,系统为周期一运动(n=1),基体M2为双向运动(p=2),系统可能正向驱进或负向驱进,即系统表现为1-2-Ⅰ或1-2-Ⅱ型运动;当ω∈[1.01,1.15],系统为周期二运动(n=2),基体M2为双向运动(p=2),系统正向驱进,表现2-2-Ⅰ型运动。频率ω,随着激励频率ω增加,在ω=0.83M2的平均驱进速度v¯v¯达到最小值,;在ω=0.99处基体M2平均速度v¯v¯取得最大值,系统正向驱进最快;激励频率ω继续增大,基体M2的平均驱进速度v¯v¯逐渐减小,在ω∈[4.66,5.39]及ω5.98的范围内,基体M2的平均驱进速度v¯v¯近似为0,。图5(c)~图5(d)为ω∈[0.01,1.5]ω与M1,M2相对速度的分岔图及局部放大图。

图5无足自驱动系统分岔图

图5(b)中的黑点为基体M2负向和正向驱进最快的点,分别对应ω=0.831-2-Ⅱ型运动和ω=0.991-2-Ⅰ型运动,其相图、6和图7所示。由图5(c)~图5(d)可知,系统在低频区的运动情况较为复杂。图6和图7相图中的虚线、实线、点划线依次表示基体M2黏滞、正向驱进和负向驱进,实线与虚线分别表示M1和M2的运动,下此相同。由系统相图可以看出:ω=0.83的情况下,基体在A→B和C→D、D→A、B→C,系统负向驱进的平均速度v¯=−0.1742v¯=-0.1742;在ω=0.99的情况下,基体在A→B、C→A、B→C,系统正向驱进的平均速度v¯=0.3186v¯=0.3186。

图6周期1-2-Ⅱ型运动,ω=0.83

图7周期1-2-Ⅰ型运动,ω=0.99

图8为ω取不同值、其,系统的相图和基体M2-速度图,其相轨迹中O点为状态点,零线。由图8(a1)可知:ω=1.09,系统呈现为周期二运动(n=2),且做双向运动(p=2),由图8(a2)可知:ω=1.09,基体M2正向驱进的平均速度v¯=0.2154v¯=0.2154,因此,系统为2-2-Ⅰ型运动。随着激励频率ω增加,在ω∈[2.36,3.94],系统始终表现为周期二运动,基体M2的平均驱进速度先减小后增大,在ω=3.15。由图8(b1)和图8(b2)可知:ω=3.152-2-Ⅰ型运动,基体M2的平均驱进速度v¯=0.1148v¯=0.1148。当ω∈[3.95,5.01],系统呈现周期三运动,基体M2的平均驱进速度先增加后减小至零,在ω=4.44处取得区间最大值。如图8(c)所示,ω=4.44,系统在Poincaré截面上对应的状态点有三个,M2只做正向驱进(v¯=0.0472)(v¯=0.0472),系统呈现3-1-Ⅰ型运动。当ω∈[5.34,5.77],系统为周期四运动,在ω=5.60。由图8(d)可知,ω=5.60,基体M2的平均驱进速度v¯=0.0019v¯=0.0019,系统将呈现4-1-Ⅰ型运动。随着频率ω继续增加,系统在ω=5.77处发生分岔,由周期四运动转迁为周期一运动。当ω∈[5.78,5.98],系统做正向驱进的周期一运动,在ω5.98后,基体M2平均驱进速度为零,系统为黏滞运动。

图8ω,系统的相图和

M2-速度图

图9为系统在ω=0.85,ω=0.579,ω=0.15,ω=0.05及ω=0.02处的相图,从图可知,在低频区,随着激励频率ω的减小,擦边分岔诱导系统碰撞次数逐渐增加,直至颤振序列。

图9系统擦边运动与颤振的相图

系统的碰撞间隙δ是影响该系统黏滑运动的重要非线性因素,M1与墙体碰撞可视为接触和分离二状态,选取系统参数为f=2,ξ=0.05,μk=7,μm=3,ω=0.8,τ0=0,可以得到间隙δ从2.8~3.1δ与接触-分离二状态分岔图,如图10所示。图中纵坐标“1”表示接触状态,“-1”表示分离状态,由图10可知:系统在间隙δ=3.044处由接触-分离二状态突变为分离状态,系统分岔点前后的相图及局部放大图,如图11所示,可见,系统在间隙δ=3.044处发生了擦边分岔。

图10系统间隙δ与接触-分离二状态分岔图

图11系统分岔点前后的相图及局部放大图

选取系统参数:f=2,δ=0.15,ξ=0.05,μk=15,μm=5,τ0=0,可以得到ω∈[2.35,2.55]M1的速度随激励频率ω变化的分岔图及ω=2.48,如图12所示。从图12可知,系统存在混沌运动。

图12系统的分岔图及相图

4、各参数对系统平均驱进速度的影响分析

系统其他参数选取为:f=0.6,δ=0.02,ξ=0.01,μk=15,τ0=0,以激励频率w∈[0.1,4]和质量比μm∈[0.1,4]为变化参数,可以得到系统的三维曲面图和等高分布图,如图13所示。图中x,y,z三个轴分别表示ω,μm,v¯ω,μm,v¯。由图13可知:随着激励频率ω的增加,系统平均驱进速度v¯v¯先增大后减小;当激励频率ω∈[0.8,2],基体M2的平均驱进速度v¯≥0.1v¯≥0.1;在点A(ω,μm)=(1.84,1.32)处,系统达到正向驱进的最大平均速度,对应的相图、-14所示。由图14可知:系统表现为周期一运动,且运动过程中存在黏滞、负向驱进和正向驱进三种状态,系统为双向运动,平均驱进速度为v¯=0.2451v¯=0.2451,呈现1-2-Ⅰ型运动。

图13系统平均驱进速度分布图

分别取μm=0.5、μm=1.5和μm=3,其他参数不变,可以得到系统平均驱进速度v¯v¯与激励频率ω的分岔图,如图15所示。从图15可知:质量比μm,基体M2的平均驱进速度逐渐减小,,正向最大平均驱进速度峰值所对应的激励频率ω也在减小,系统均呈现1-2-Ⅰ型运动。图16为μm=3,ω=0.1图,进一步验证了系统在低频区主要存在颤振序列。

选取f=2,δ=0.05,ξ=0.05,μk=7,μm=3,τ0=0为系统基准参数,图17(a)~图17(d)分别为(ω,f),(ω,δ),(ω,μk),(ω,μm)参数域内系统平均驱进速度分布图,数字为系统平均驱进速度。由图17(a)可知:系统在低频区内受摩擦比f的影响较大,当ω1,系统出现负向驱进;在高频区,系统趋于静止,受摩擦比f的影响很小;当摩擦比f1,系统趋于静止,系统平均驱进速度随激励频率ω的波动较小;在f3的区域内,系统平均驱进速度随激励频率ω有较大的变化;当摩擦比f=4,系统在ω=0.83和ω=1.01最大平均速度。由图17(b)可知:当ω2,系统趋于静止,间隙δ对系统平均驱进速度的影响较小;系统在ω∈[0.8,1]区间内存在正向驱进的平均速度峰值带(v¯≥0.3)(v¯≥0.3),在点(0.8,0.31)和(0.7,1)附近取得负向驱进的最大平均速度。由图17(c)可知:在高频区,刚度比μk对系统的影响较小,系统正向驱进的平均速度峰值带集中在ω=1附近,负向驱进的最大平均速度出现在频率较小的区域。由图17(d)可以看出:质量比μ的区域为系统敏感区,励频率ω和质量比μm改变波动较大,所达到的最大驱进速度也更加理想;当质量比μm,正向驱进的平均速度峰值带向高频方向略有移动,μm的最佳选择范围为[0.4,0.8]。

图14(ω,μm)=(1.84,1.32)

图15基体M2平均驱进速度v¯随激励频率ω变化的分岔图

图16系统在低频区的运动情况(μm=3,ω=0.1)

图17系统不同参数域内的平均驱进速度分布图

5、结论

本文研究了一类两自由度含干摩擦的无足自驱动系统,建立了系统不同运动状态下的微分方程,数值模拟了系统不同参数下的平均驱进速度v¯v¯,得出了以下结论:

(1)在低频区,随着激励频率ω的减小,擦边分岔诱导系统碰撞次数逐渐增加,直至颤振序列;在高频区,系统存在混沌运动。

(2)系,在一个完整的周期内,基体的运动由黏滞、正向驱进和负向驱进三种中的一种或多种组成。

(3)系统平均驱进速度v¯v¯对激励频率ω的变化较敏感,当激励频率ω在低频(ω≤2),系统平均驱进速度v¯v¯有明显的波动。系统正向与负向最大平均驱进速度出现在低频区(对应系统呈现1-2-Ⅰ型运动),在高频区内,系统趋于黏滞状态。

(4)系统正负方向驱进的平均速度峰值带受质量比μm的影响最大,系统正向与负向最大平均驱进速度出现(对应系统呈现1-2-Ⅰ型运动);质量比μm在[0.1,1.5],系统平均驱进速度v¯v¯有明显的波动;质量比μm在[0.4,0.8]的范围内,系统有较理想的驱进效果。

(5)摩擦比f、间隙δ、刚度比μk对系统平均驱进速度v¯v¯的影响相对较弱;其中,摩擦比f越大,系统对激励频率ω的变化越敏感,系统正向与负向驱进的最大平均速度v¯v¯出现在摩擦比f最大处;系统正向驱进的平均速度峰值带出现在激励频率ω=1附近,负向驱进的平均速度峰值带出现在ω略小于1的位置。

本文主要研究了参数对系统运动特性的影响,在应用方面,可根据工程实际所需的特定运动轨迹,匹配适当的系统参数,进而设计出专用的无足自驱动系统。本文的研究结果和方法,可以为血管疏通、高压线除雪及管道输送等特定复杂环境中无足自驱动系统的设计及参数优化提供相应的理论依据。

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