图2-11连杆关系参数
第二章工业机器人运动学
这样，每个连杆可以用四个参数来描述，其中两个是连杆的尺寸，两个代表连杆与相邻连杆之间的连接关系。
确定连杆的运动类型，根据关节变量设计关节。
运动副，从而进行整个机器人的结构设计。知道了各关节变量的值，就可以通过连杆坐标系对基座固定坐标系的转换，推导出手坐标系的姿态。
第二章工业机器人运动学
2.2同质转换和操作
A.对于空间平移的齐次变换如图2-6所示。
点在直角坐标系中的平移由下式确定
A(x，y，z)被翻译成A'(x '，y '，z ')，即
(2.7)或者写:
图2-6点的平移变换
第二章工业机器人运动学
(2.8)
注:a′=(δx，δy，δz)a，其中(δx，δy，δz)称为平移算符，a′=(δx，δy，δz)a分别代表沿x，y，z轴的运动。即:(2.9)
第二章工业机器人运动学
(2.21)
注意:
(1)该公式是旋转齐次变换的一般公式，概括了绕X、Y、Z轴的旋转变换。
形势。另一方面，当给定某个旋转齐次变换矩阵时，可以得到k和旋转角度θ。
②变换算子公式不仅适用于点的旋转，也适用于矢量、坐标系和物体。
身体的旋转。③左乘是相对固定坐标系的变换；右乘是相对运动坐标系的变换。
(3x1)的位置向量AP表示为
(2.1)图2-1中点的位置描述
其中px、py和pz是点p的三个位置坐标分量。
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2.点的齐次坐标
例如，由四个数字组成的(4×1)数组表示三维直角坐标系。
{A}中点p，则该数组称为点p在三维空间中的齐次坐标，如下:
(2.2)
齐次坐标不是唯一的，当数组的每一项都乘以非零因子ω时，也就是说，
Q Y
一个X' Z' X
同样，手坐标系的Y '轴和Z '轴的方向可以分别用单位矢量O和α表示。
手的姿势可以用矩阵表示如下:
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7.目标对象姿态的描述
空间中任何物体的位置和姿态都可以用一个齐次矩阵来表示，如图2-5所示。在图(a)的情况下，楔形q可以由六个点来描述，
图2-5目标位置和姿态描述
图2-3刚体的位置和姿态描述
第二章工业机器人运动学
设n、o和a分别是X’、Y’和Z’轴的单位方向矢量，即
刚体的姿态表示为一个(4×4)矩阵:
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例1说明连接刚体的坐标系{B}位于OB点，xb=10。
yb=5，zb=0 .ZB轴垂直于图片，坐标系{B}相对于固定坐标系{A}有30°的偏转。试写出表示刚体姿态的坐标系{B}的(4×4)矩阵表达式。
表2.1连杆参数和坐标系
连杆参数
名称θn dn an αn角度距离长度扭转角是指连杆N绕关节Zn-1轴的旋转角度N连杆N沿关节Zn-1轴的位移N右手定则是+性质沿Zn-1的正方向，旋转关节可变，移动关节不变，旋转关节不变，移动关节可变。
在Xn方向上，连杆N的长度和Xn的正方向是一个不变的尺寸参数，引起连杆N的两个关节轴之间的扭转角，用右手定则尺寸参数是不变的。
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解:移动坐标系{A}的两个平移坐标变换算子都是
{A'}坐标系是运动系统{A}沿固定坐标系的平移变换。
，所以算符左乘的矩阵表达式，{A'}为
-1 2 2 2
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{a "}坐标系是动态系统{A}沿其自身坐标系的平移变换。
，所以算符右乘，{a "}矩阵表达式为
经过平移坐标变换后，坐标{A'}和{a "}的实际情况已经如图2-7所示。
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3.平移加旋转的齐次变换平移变换和旋转变换可以合并，并且只计算
可以通过将旋转运算符乘以平移运算符来展平旋转。
动起来。我就不细说了。练习:给定坐标系中U点的齐次坐标U=[7 3 2 1]T，把这个。
点绕Z轴旋转90度，再绕Y轴旋转90度，需要4i-3j+7k。
平移，求变换后得到的w点的数组表达式。
X0，Y0，Z0轴由(-1，2，2)平移到{ a ' }；移动坐标系{A}是相对于自身的
人体坐标系(即运动系)的X、Y、Z轴分别平移(-1，2，2)，然后到达{ a }。已知:
X ' { A ' } Y { A }
“Z X
Y' Z '
X
Y" {A"} Y0 Z "
X0
试写出坐标系{A'}和{a "}的矩阵表达式。
图2-7坐标系的平移变换
解:XB的方向数组:n =[0.866 0.500 0.0000]Yb的方向数组:O =[0.500]T =[-0.866 0.000]TZB的方向数组:A = [0.000 0.000]。的位置数组:p=[10.0 5.0 0.0 1]T，所以坐标系{B}的(4×4)矩阵表达式为:Yb (XB，Yb，ZB) ob {b} XB 30。
连杆N的坐标系原点、轴Zn和关节n+1轴线重合轴Xn沿着连杆N的两个关节轴的公共垂直线，并指向关节n+1轴Yn。
位于接头n+1轴的公共垂线和连杆n的接头轴的交点处
根据右手定则确定
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第二，
各连杆坐标系建立后，通过坐标系的平移和旋转，可以实现n-1系和N系之间的转换关系。n-1系到N系的变换步骤如下:(1)将n-1系绕Zn-1轴旋转θn角，使Xn-1平行于Xn，算子为Rot(z，θn)。(2)沿Zn-1轴平移dn，使Xn-1与Xn重合，算子为(0，0，dn)。(3)沿Xn轴平移an，使两个坐标系的原点重合，算子为(an，0，0)。(4)绕Xn轴旋转α n角，使n-1系与n系重合，算子为Rot(x，α n)。在这个变换过程中，总变换矩阵an用于表示连杆n的齐次变换矩阵:
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2.旋转齐次变换点在空间直角坐标系中的旋转如图2-8所示。A(x，y，z)绕z轴旋转θy’，z’)，a’(x’，a和a’的关系为
(2.10)
图2-8点旋转变换
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以矩阵形式写成如下
(2.17)写成:a'=Rot(z，θ )a其中绕z轴旋转算子的左乘是相对于固定坐标系的，(2.18)
T6=
(2.Βιβλιοθήκη )
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分析矩阵:前三列代表手的姿势；第四列表示手的中心点的位置。可以写成以下形式:
(2.24)
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2.正向运动学和例子
1.平面关节机器人的运动学方程。
如图2-12所示，组装机器人。
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同样的，
(2.19)
(2.20)
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图2-9表示A点绕任意通过原点的单位矢量k旋转θ角。
情况。Kx、k y和k z分别是固定参考轴x、y和z上的k个向量。
并且k2x+k2y+k2z=1。可以证明它的旋转是齐次变换
图2-9点的一般旋转变换
你好啊
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6.手部姿势描述
机器人手的姿态如图2-4所示，可以固定到手的坐标系{B}的位置。
摆姿势表达。坐标系{B}由原点位置和三个单位向量唯一确定，即:(1)原点:以手的中心点为原点OB；(2)邻近向量:关节轴方向的单位向量a；(3)姿态向量:手指连接方向的单位向量o；(4)法向量:n是法向量单位向量，同时垂直于A和O向量，即n = o× a。
图2-4机器人手的位置和姿态描述
第二章工业机器人运动学
手部的姿态向量是从固定参考坐标系OXYZ的原点指向手部坐标系{B}的原点的向量p，手部的方向向量是n、o和a..手的姿势可以用一个(4×4)矩阵来表示:
(2.5)
第二章工业机器人运动学
例2说明手抓住物体Q，物体是边长为2个单位的正立方体。写一个矩阵表达式来表示手的姿势。
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2.连杆坐标系的建立
建立连杆N坐标系(简称N系)的规则如下:
①连杆N坐标系的坐标原点位于n+1关节的轴上，是一个关节。
n+1关节轴与n和n+1关节轴的公共垂线的交点。② Z轴和n+1。
③X轴与垂线重合；从N到N+14Y轴，根据右手螺旋法则确定。
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(2.3)
其中:a = ω px，b = ω py，c = ω pz。数组也表示点P，齐次坐标的表示不唯一。
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3.坐标轴方向的描述如图。I、J、K用于表示直角坐标系中的X、Y、Z坐标轴。
单位向量，用齐次坐标来描述X，Y，Z轴的方向，有
第二章工业机器人运动学
注意:
①算子左乘:是指点的平移是相对于一个固定坐标系的。
标准转换。
②算子右乘:表示点的平移是相对于运动坐标系的坐标变换。③该公式也适用于坐标系和物体的平移变换，如机器人手的平移变换。
第二章工业机器人运动学
例3:有以下两种情况(如图2-7):运动坐标系{A}相对于固定坐标系。
结束
第二章工业机器人运动学
2.3工业机器人连杆参数及其齐次变换矩阵
1.连杆参数和连杆坐标系的建立1。连杆参数
描述了连杆可以通过两个几何参数:连杆长度an和扭转角α n。
图2-10连杆的几何参数
第二章工业机器人运动学
描述相邻成员n和n-1之间的关系参数的两个参数:
连杆距离dn和连杆旋转角度θn
第二章工业机器人运动学学习内容:
2.1工业机器人位姿描述2.2齐次变换与运算2.3工业机器人连杆参数及其齐次变换矩阵2.4工业机器人运动学方程
第二章工业机器人运动学
2.1工业机器人姿态描述
1.如图2-1所示，在直角坐标系中。
在{A}中，空间中任意一点p的位置都是可用的。
解:由于物体的Q形心与手坐标系O'X'Y'Z '的坐标原点O '重合，手位置的(4× 1)数组为p = [1111] t。
Z
o n
用于爱尔兰父系姓氏前
手坐标系的X’轴的方向可以由单位矢量n表示:
n: α =90，β =180，γ= 90 NX = cosα= 0；ny = cosα=-1；nz=cosα=0
你好
第二章工业机器人运动学
实际上，大多数机器人连杆参数取特殊值，如α n=0或dn=0。
计算简单，控制方便。
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2.4工业机器人运动学方程
1.机器人运动学方程的变换矩阵(A矩阵):描述一个连杆坐标系与下一个连杆坐标系之间相对关系的齐次变换矩阵。(六连杆)机器人的运动学方程；
第二章工业机器人运动学
4.
运动坐标系的姿态描述是用姿态矩阵来描述运动坐标系的原点。
描述和坐标系中每个坐标轴的方向。姿态矩阵是(4×4)正方形。
数组。如上所述，直角坐标系可以描述为:
(2.4)
第二章工业机器人运动学
5.刚体姿态的描述机器人的每个环节都可以看作一个刚体。如果给定刚体上一点的位置和刚体在空中的姿态，刚体在空间上是唯一的，可以用唯一的姿态矩阵来描述。如图2-3所示，设O′x′y′z′是与刚体Q固定连接的坐标系，称为动力坐标系。刚体Q在固定坐标系OXYZ中的位置可以用齐次坐标的形式表示如下:
第二章工业机器人运动学
(2.6)
如果绕Z轴旋转90度，则记录为ROT (z，90度)；然后绕Y轴旋转90度，也就是
Rot (y，90)，然后沿X轴方向平移4，即(4，0，0)，那么楔形就变成了(b)位置。
态度，其齐次矩阵表达式为
对目标的变换进行符号化表示，可以记录物体运动的过程，便于矩阵的运算，要熟练掌握。
条款:
①数组[ABC0] t中的第四个元素为零，
而a2+b2+c2=1，表示某轴(或某向量)的方向；
图2-2
坐标轴方向描述
②数组[ABCω]T中的第四个元素不为零，表示空间中某一点的位置。
第二章工业机器人运动学
例如，在图2-2中，向量V的方向用一个(4×1)数组表示如下
其中:a = cos α，b = cos β，c = cos γ。当α= 60°，β= 60°，γ= 45°时，矢量为